Определение пропорции
Пусть даны четыре отличных от нуля числа a, b, c и d таких, что a : b = c : d. Тогда равенство a : b = c : d называется пропорцией. Т.е. пропорция (лат. proportio — соразмерность, выравненность частей) — равенство двух отношений. Числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c — средними членами.
Пишут, a : b = с : d или читают: «а так относится к b, как с относится к d»
Из свойств обыкновенных дробей следует, что справедливы следующие утверждения:
- Пропорцию a : b = c : d можно записать в виде a/b = c/d.
- Крайние члены пропорции можно поменять местами: если a/b = c/d, то d/b = c/a.
- Средние члены пропорции можно поменять местами: если a/b = c/d, то a/c = b/d.
- Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: если a/b = c/d, то ad = bc (основное свойство пропорции). Например: если 20:5 = 16:4, то 20•4 = 5•16, т.е. 80=80.
Основные свойства пропорций
- Обращение пропорции. Если a : b = c : d, то b : a = d : c
- Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d, то ad = bc.
- Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d, то
- a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции),
- d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).
- Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d, то
- (a + b) : b = (c + d) : d (увеличение пропорции),
- (a – b) : b = (c – d) : d (уменьшение пропорции).
- Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d, то
- (a + с) : (b + d) = a : b = c : d (составление пропорции сложением),
- (a – с) : (b – d) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием).
Как из данной пропорции составить три верные пропорции
- Надо поменять местами: 1) крайние 2) средние 3) одновременно крайние и средние члены пропорции. Например, из верной пропорции 20/5=16/4 получится 3 новые верные пропорции: 1) 4/5=16/20; 2) 20/16=5/4; 3) 4/16 = 5/20
Как найти неизвестный крайний член пропорции
- Надо произведение средних поделить на известный крайний член пропорции, например: если: х:5=16:4, то х = (5 · 16) : 4, если 20:5=16:х, то х = (16 · 5) : 20
- Или еще пример: Необходимо найти неизвестный крайник член AC пропорции:
- AC : 8 = √2 : 2
- Решение: AC = 8 · √2 / 2
Как найти неизвестный средний член пропорции
- Надо произведение крайних поделить на известный средний член пропорции. Например, если 20:х=16:4, то х = (20 · 4) : 16; если 20:5=х:4, то х = (4 · 20) : 5
Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квадрата зависит от длины его стороны, и обратно, длина стороны квадрата зависит от его площади.
- Пример: Масса керосина пропорциональна его объёму: 2 л керосина весят 1,6 кг, 5 л весят 4 кг, 7 л весят 5,6 кг. Отношение массы к объёму всегда будет равно плотности:
- 1,6 / 2 = 0,8;
- 4 / 5 = 0,8;
- 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.
Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.
Какая зависимость называется прямой пропорциональной
- Прямой пропорциональная зависимость — такая зависимость, когда с увеличением (или с уменьшением) одной величины в несколько раз вторая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Например, при постоянной цене стоимость покупки прямо пропорциональна количеству товара: если цена 1 кг сахара равна 20 р., то надо платить за 2 кг — 40 р., за 3 кг — 60 р., и т.д.
Какая зависимость называется обратной пропорциональной
- Обратной пропорциональная зависимость — такая зависимость, когда с увеличением (или с уменьшением) одной величины в несколько раз вторая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Например, на имеющиеся 80 р можно купить 4 кг сахара по 20 р. или 2 кг по 40 р., т.е. если цену увеличили в 2 раза, то товара купили в 2 раза меньше на те же 80 р.
Источники и дополнительная информация: