Почему число пи называют иррациональным и трансцендентным?

Число пи — одна из фундаментальных математических констант, равная отношению длины окружности к ее диаметру в пространстве с евклидовой (плоской) метрикой. Название числа происходит от греческой буквы "пи" (π), которой оно традиционно обозначается.

Число пи является иррациональным, то есть, не может быть выражено как отношение двух целых чисел и представляется бесконечной непериодической десятичной дробью. Число пи является трансцендентным, то есть, не является корнем какого-либо полинома с целыми коэффициентами.

Точное значение числа пи невозможно записать. На протяжении всей истории математики не прекращается работа по уточнению значения числа пи. О том, насколько далеко продвинулись математики, можно судить по количеству десятичных знаков числа пи, которое им удалось определить.

Четыре тысячи лет назад надежно были известны всего два первых знака числа пи. В начале XXI века с помощью многопроцессорных суперкомпьютеров определено более триллиона знаков десятичной записи сила пи. Во всей этой огромной последовательности цифр не выявлено никакой закономерности, позволяющей надежно или хотя бы вероятностно предсказывать дальнейшие знаки числа пи.

История уточнения числа пи

• 25/8 = 3,125 — Вавилония, начало XIX в. до н. э.
• 256/81 ≈ 3,160 — Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)
• 339/108 ≈ 3,139 — Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)
• 223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) — Архимед, Греция, 250 г. до н. э.
• 3,1416 — Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.
• 3,1415926 < π < 3,1415927 — Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.
• 3,14159265359 — Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.
• 16 знаков — Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.
• 35 знаков — Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)
• 100 знаков — Джон Мэчин, Англия, 1706 г.
• 200 знаков — Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)
• 527 знаков — Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)
• 2037 знаков — Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)
• 16 167 знаков — Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)
• 1 001 250 знаков — Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)
• 1 011 196 691 знаков — братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)
• 206 158 430 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.
• 1 241 100 000 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)
• 10 000 000 000 050 знаков — Александер Йи и Сингеру Кондо, Япония, 16 октября 2011 (десктоп 2×Intel Xeon X5680 @ 3,33 ГГц, 96 Гбайт RAM, 30 HDD общей емкостью 59 Тбайт, 191 день счета)

Источники:

• www.vokrugsveta.ru — статья профессора Виталия Целищева «Все есть число?» в журнале «Вокруг света» №9 (2816) за сентябрь 2008 г.
• lenta.ru — сообщение на сайте Лента.ру «Пи вычислили с точностью до 10 триллионов знаков» от 20.10.2011.
• numberworld.org — сайт авторов расчета 10 триллионов знаков числа пи

Дополнительно от Генона: 

• Когда отмечают день числа пи?