Квадратный корень из двух (√2) — положительное действительное число, при умножении само на себя даёт число 2.
√2 — первое открытое , то есть, такое число, которое нельзя записать в виде простой дроби, числитель и знаменатель которой представлены целыми числами. Иррациональность √2 первыми обнаружили пифагорейцы, когда доказали несоизмеримость квадрата и его диагонали.
Десятичная запись корня из двух
В десятичной системе счисления √2 записывается бесконечной непериодической дробью. Вот его приблизительное значение с 65 знаками после запятой:
√2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799...
Мнемнические правила для запоминания значения квадратного корня из двух:
- Я Катя, я дура, но я вот нашла корень из двух.
- I wish I knew // The root of two.
Цифрам десятичной записи сичла соответствует количество букв в словах.
Рациональные приближения к корню из двух
- 3/2 = 1,5
- 17/12 = 1,41(6) — в скобках указаны бесконечно периодически повторяющиеся цифры
- 99/70 = 1,4(142857) — погрешность не превышает 1/10000, несмотря на небольшой знаменатель
- 577/408 = 1,414(2156862745098039) — известно из древнеиндийского математического текста, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.)
- 305470/216000 = 1,41421(296) — известно из вавилонской глиняной таблички (ок. 1800—1600 до н. э.)
- 665857/470832 = 1,41421356237468991...
Рекорды вычисления корня из двух
- В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой.
- В феврале 2007 Шигеру Кондо вычислил 200 000 000 000 десятичных знаков после запятой. Для этого был использован персональный компьютер с процессором 3,6 ГГц и с 16 Гбайт ОЗУ. Расчет занял 13 дней и 14 часов.
Среди математических констант только было вычислено более точно.
Интересные свойства квадратного корня из двух
- 1/(√2 – 1) = √2 + 1 – так называемое серебряное сечение
- √2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ... ))) – представление √2 в виде непрерывной дроби
- √(2 + √(2 + √(2 + ...))) = 2
- √2^(√2^(√2^(√2^...))) = 2 — бесконечная √2 равна 2 (^ — знак возведения в степень).
Источник:
Допольнительно в базе данных Генона: