Как оценить значение десятичного логарифма числа без калькулятора?

Десятичный логарифм положительного числа — это степень, в которою нужно возвести число 10, чтобы получить исходное число:

y = lg x = log₁₀x   =>   x = 10^y.

1. В первом приближении логарифм числа равен его порядку, то есть, степени десятки в научной (экспоненциальной) записи числа. Любое положительное число x можно представить в форме x = m·10ⁿ, где m — мантисса, вещественное число в диапазоне 1 ≤ m < 10, а целое число n называют порядком.

Например, в числе Авогадро N_A = 6,02·10²³ мантисса — 6,02, а порядок — 23. Поэтому в первом приближении логарифм числа Авогадро равен 23.

Этот способ основан на двух фактах:

• логарифм произведения равен сумме логарифмов: log a·b = log a + log b;
• логарифм числа от 1 до 10 не превосходит 1. 

В применении к научной записи числа получаем:

lg x = lg(m·10ⁿ) = lg m + lg(10ⁿ) = p + n ≈ n, поскольку 0 ≤ p < 1.

Пренебрегая логарифмом мантиссы, числом от 0 до 1, мы ошибемся в определении десятичного логарифма не более, чем на 1, причем всегда в меньшую сторону.

2. Повысить точность можно, учтя, что lg 3 ≈ 0,5. Так что если мантисса, которой мы пренебрегли в предыдущем примере, больше 3, то надо добавить единицу к приближенной оценке логарифма. Таким образом, более точная оценка логарифма числа Авогадро: lg N_A ≈ n+1 = 24.

3. Еще точнее можно определить логарифм, если помнить несложную таблицу "круглых" логарифмов целых чисел и применять ее для оценки логарифма мантиссы:

• lg 1 = 0
• lg 2 ≈ 0,3

• lg 3 ≈ lg(√10) = 0,5

• lg 4 ≈ 0,6

• lg 5 ≈ 0,7

• lg 8 ≈ 0,9

Причем во всех случаях, корме третьего погрешность не превышает полпроцента. Отсюда видно, что логарифм мантиссы числа Авогадро немного меньше, чем 0,8, а значит, логарифм N_A можно оценить как 23,8. Для сравнения точное значение: lg N_A = 23,778.

Дополнительно от Генона:

• Что такое десятичный логарифм?