Определитель, или детерминант — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. Определитель матрицы размера n × n равен ориентированному n-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).
Для матрицы n × n определитель выражается в виде многочлена степени N от элементов матрицы который представляет собой сумму произведений элементов матрицы со всевозможными комбинациями различающихся номеров строк и столбцов, причём в каждом из произведений элемент из любой строки и любого столбца ровно один. Каждому произведению приписывается знак плюс или минус в зависимости от чётности перестановки номеров.
Если элементами матрицы являются числа, то определитель — это тоже число. В общем случае определитель может быть функциональным, векторным и т.п., то есть, представлять собой иные выражения, составленные из элементов.
Определитель матрицы n × n задаётся формулой:
n!
det(A) = |A| = Σ (−1)p(i) × a1k(i1)a1k(i2)...ank(in)
i=1
где
- |A| и det(A) — так обозначается определитель,
- kij i-я перестановка последовательности k1 = 1,..,n, то есть, k1j = j
- p(i) количество перестановок пар номеров в последовательности k1j, необходимое для того, чтобы она превратилась в последовательность kij.
Таким образом, можно выделить следующие особенности построения выражения для определителя матрицы n × n:
- выражение есть сумма членов, каждый из которых состоит из n сомножителей
- количество слагаемых в сумме равно количеству перестановок n номеров, то есть, n!
- номера строк и столбцов элементов, входящих в одно слагаемое, не повторяются
- слагаемые входят в сумму либо с плюсом, либо с минусом, в зависимости от чётности перестановки
- слагаемое из элементов главной диагонали матрицы, то есть, a11 a22 ... ann входит с плюсом
Ниже даны правила составления определителей для матриц 2 × 2 и 3 × 3, которые являются более наглядными.
Определитель матрицы 2 × 2
Для вычисления определителя матрицы размером 2 × 2 перемножаются её элементы, стоящие на главной диагонали и из них вычитается произведение остальных элементов:
|A| = a11 a22 − a12 a21
Определитель матрицы 3 × 3
Для вычисления определителя матрицы размером 3 × 3 строится шесть произведений следующим образом:
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Свойства пределителей
- Если матрицу транспонировать (сделать строки столбцами), то определитель не изменится.
- Следующие свойства определителей, касающиеся строк, справедливы также и для столбцов.
- Если у матрицы переставить две строки, то её определитель изменит знак.
- Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
- Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
- При добавлении к любой строке линейной комбинации других строк определитель не изменится.
- Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
- Определитель косотреугольной матрицы равен произведению ее элементов побочной диагонали со знаком (-1)n(n-1)/2
- det(AB) = det(A)det(B)
- det(AT) = det(A)
Источники и дополнительная информация: