Как доказать теорему косинусов?

Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника (a) равен сумме квадратов двух других его сторон треугольника (b и c), минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла (α) между ними:

a² = b² + c² − 2 b c cos α.

При α=90°, то есть в случае прямоугольного треугольника последний член формулы обращается в ноль, и получается выражение для теоремы Пафагора:

a² = b² + c².

Таким образом, теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, а теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора на случай непрямоугольных треугольников.

Доказательства:

• Видеоурок с доказательством теоремы косинусов;
• Геометрическое докзательство — на сайте «Помощь в математике»;
• Векторное доказательство — на сайте «Треугольники».

Дополнительно на Геноне:

• Что такое теорема синусов?
• Какие есть обобщения теоремы Пифагора?
• Как разложить квадрат синуса, косинуса и тангенса?
• Как раскладывается на множители разность квадратов?