Как доказывается теорема о сумме углов многоугольника?

В евклидовой геометрии сумма углов плоского n-угольника равна 180°(n–2). В частности:

• сумма углов треугольника — 180°;
• сумма углов четырехугольника — 360°;
• сумма углов пятиугольника — 540°;
• сумма углов шестиугольника — 720°;
• сумма углов семиугольника — 900°;
• сумма углов восьмиугольника — 1080°. 

Доказательство данной теоремы для случая выпуклого n-угольника 

В случае n=3 мы имеем дело с треугольником. Сумма углов треугольника всегда равна 180°. В случае n>3 нужно провести из любой вершины многоугольника диагонали ко все несмежным вершинам. Таких диагоналей будет n–3, и они разобью многоугольник на n–2 прилегающих друг к другу треугольников. Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180°, а число этих треугольников есть n–2. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180°(n–2). Теорема доказана.

Для невыпуклого n-угольника сумма углов также равна 180°(n–2). Доказательство аналогично, но использует в дополнение лемму о том, что любой многоугольник может быть разрезан диагоналями на треугольники.

Источники: 

• ru.wikipedia.org — Википедия: Теорема о сумме углов многоугольника (с доказательством)  
• ru.wikipedia.org — Википедия: Теорема о сумме углов треугольника (с доказательством)
• profmeter.com.ua — Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Дополнительно на Геноне:

• Чему равна сумма углов треугольника?