Как найти площадь выпуклого четырехугольника?

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика фигуры, показывающая размер этой фигуры в квадратных единицах. Стандартное обозначение площади — буква S.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте.
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 1/2·a · h

2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.

Площадь треугольника равна корню квадратному из произведения, где одним из множителей является полупериметр, а тремя другими — разность полупериметра с каждой из сторон треугольника.

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.

S = 1/2 · a · b · sin γ

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.

Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, поделенному на четыре радиуса описанной вокруг него окуружности.

S = abс /4R

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности.
Площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности.

S = pr

Обозначения: 

S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = (a + b + c)/2 — полупериметр треугольника.

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²

2. Формула площади квадрата по длине диагонали.
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

S = 1/2·d²

Обозначения: 

S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

S = ab

Обозначения: 

S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон, умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α

3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей, умноженному на синус угла между ними.

S = 1/2 · d₁ · d₂· sin γ

Обозначения: 

S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,

γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте.
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины, опущенной на эту сторону высоты.

S = ah

2. Формула площади ромба по длине стороны и углу.
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a² · sin α

3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей.
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

S = 1/2 · d₁ · d₂

Обозначения: 

S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d₁, d₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула площади трапеции по длине оснований и высоте.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

S = 1/2 · (a + b) · h

2. Формула Герона для трапеции.

S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)

Обозначения: 

S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними.
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей, умноженной на синус угла между ними.

S = 1/2 · d₁ · d₂ · sin α

Обозначения: 

S — площадь четырехугольника,
d₁, d₂ — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности).
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности.

S = pr

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов.

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos²θ

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность.

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Обозначения: 

S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = (a + b + c + d)/2 — полупериметр четырехугольника,
θ = (α + β)/2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус.
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса и числа пи.

S = πr²

2. Формула площади круга через диаметр.
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра и числа пи.

S = 1/4 · π · d²  

Обозначения: 

S — площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга;

π = 3,14.

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

S = πab

Обозначения: 

S — площадь эллипса, 
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса;

π  = 3,14.

Источники: 

• ru.onlinemschool.com — формулы площади геометрических фигур;
• ege-study.ru — все формулы по геометрии. Площади фигур; 
• ru.solverbook.com — формулы площади геометрических фигур. 

Дополнительно на Геноне:

• Где найти формулы для вычисления объема?
• Где найти формулы сокращенного умножения?
• Каковы свойства треугольников?