Как доказывается, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон. Такая окружность существует только одна. Ее центр лежит в точке пересечения биссектрис всех углов треугольника.

Видео с доказательством того, что:

• все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке.
• вписанная в треугольник окружность единственна.  

Радиус вписанной окружности можно найти по следующим формулам:

r = S/p,

r = (p – a)·tg(A/2),

где

S — площадь треугольника,

p — его полупериметр (половина суммы длин всех сторон),

a — длина одной из сторон треугольника,

A — величина противолежащего ей угла.

Источники:

• Формулы треугольника
• Описанная и вписанная окружность
• Основные формулы планиметрии

Дополнительно от Генона:

• Как найти радиус описанной вокруг треугольника окружности?
• Как найти площадь треугольника?
• Чему равна площадь прямоугольного треугольника?
• Как вычислить длину окружности?
• Каковы свойства окружности?