Как вычислить площадь правильного пятиугольника по радиусу вписанной в него окружности?

Правильный пятиугольник или пентагон (англ. regular pentagon) — это пятиугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

Формулы для правильного пятиугольника:

• Величина α внутренних углов правильного пятиугольника (n=5) составляет:
  α = (n – 2)/n · 180° = (3/5) · 180° = 108°.
• Площадь правильного пятиугольника со стороной a рассчитывается по формуле:
  S = (5/4) a² ctg(π/5) = (1/4) √5 √(5 + 2√5) a² ≈ 1,720 a².
• Площадь правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R рассчитывается по формуле:
  S = (5/2) R² sin(2π/5) = (5√2/8) √(5 + √5) R² ≈ 2,378 R².
• Площадь правильного пятиугольника, описанного вокруг окружности радиуса r рассчитывается по формуле:
  S = 5 r² tg(π/5) = 5 √(5 – 2√5) r² ≈ 3,633 r².
• Высота правильного пятиугольника со стороной a составляет:
  h = (1/2) a tg 72° = (1/2) √(5 + 2√5) a² = 1,539 a.
• Отношение диагонали d правильного пятиугольника к его стороне a равно золотому сечению:
  d/a = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
• Радиус r окружности, вписанной в правильный пятиугольник со стороной a составляет:
  r = (1/10) √5 √(5 + 2√5) a ≈ 0,688 a.
• Радиус R окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника со стороной a составляет:
  R = (1/10) √10 √(5 + √5) a ≈ 0,851 a.
• Радиус R  окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, можно найти по радиусу r вписанной в него окружности по формуле:  
• R = (√5 – 1) r ≈ 1,236 r.

Факты о правильном пятиугольнике:

• Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Впервые это построение описал Евклид в своих «Началах» около 300 года до н.э.
• Все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Вместе они образуют пятиконечную звезду, называемую также пентаграммой. Отношение длины диагонали к длине стороны правильного пятиугольника равно золотому сечению.
• Правильными пятиугольниками нельзя замостить плоскость без промежутков и наложений. Это наименьший по числу сторон правильный многоугольник, который обладает таким свойством.
• Додекаэдр — единственный правильный многогранник, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Правильный пятиугольник — наибольший по числу сторон правильный многоугольник, из которых можно собрать правильный многогранник.
• В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника. Однако, при формировании водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K на поверхности сначала возникают цепочки молекул шириной около 1 нм пентагональной структуры. 
• Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги, а затем сплющив узел.
• Пентагоном называют министерство обороны США, поскольку оно размещается в здании, имеющем в плане форму правильного пятиугольника (пентагона).

Источники:

• ru.wikipedia.org — Википедия: Правильный пятиугольник
• wolframalpha.com — Wolfram|Alpha: regular pentagon (англ. яз.)

Дополнительно на Геноне:

• Какой величины углы у правильного треугольника?
• Что такое пентаграмма?
• Сколько диагоналей у пятиугольника?
• Кто такой Евклид?
• Почему у здания Пентагона пять углов?