Пусть задана любая матрица А с m строк и n столбцов. Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов и это число называется рангом матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.
Обычно ранг матрицы A обозначается rang A (rg A) или rank A. Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.
Вычисление ранга матрицы
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Свойства
Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang A M — базисный минор матрицы A, тогда:
- базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
- любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Следствия:
- Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
- Если A — квадратная матрица, и det A = 0 <=> строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
- Пусть r = rang A, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
- Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение
элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны для матриц, полученных друг из друга
Теорема Кронекера — Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
Источники:
Полезные ссылки:
— Ранг матрицы
— Пример нахождения ранга матрицы
— Онлайн вычисление ранга матрицы