Коллинеарные векторы
Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).
Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные направления.
Два ненулевых вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными.
Условие коллинеарности векторов
Если векторы a(x1,y1,z1) и b(x2,y2,z2) коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:
x2/x1 = y2/y1 = z2/z1
И обратно: если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то векторы эти — коллинеарны.
Если коэффициент пропорциональности λ = x2/x1 = y2/y1 = z2/z1 положителен, то векторы a и b равнонаправлены, а если отрицателен — то противоположно направлены.
Например:
- векторы АВ(3, 5, 8) и CD(6, 10, 16) коллинеарны;
- векторы АВ(-12, -8, -22) и CD(6, 4, 11) коллинеарны;
- векторы АВ(-10, -8, -21) и CD(6, 5, 11) не коллинеарны
Компланарные векторы
Три вектора (или большее их число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора также считаются компланарными.
Компланарность векторов, доказательство их компланарности
Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения.
Например:
- векторы AB(2, 1, 3), CD(-2, 8, 12), EF(3, 15, 27) компланарны;
- векторы AB(-4, 2, -6), CD(-1, -4, 6), EF(-2, 10, -18) компланарны.
Смешанное произведение векторов
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трёх векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение b×c, т.е. число а(b×c), или, что то же, (b×c)а.
Для того, чтобы найти смешанное произведение трёх векторов a, b и c, заданных своими координатами a(ax,ay,az), b(bx,by,bz), c(cx,cy,cz), нужно определенным образом составить определитель третьего порядка. В первой строке определителя записываем координаты первого вектора, во второй строке — второго, в третьей — третьего:
ax ay az
bx by bz
cx cy cz
и вычисляем определитель. Результат вычислений и есть искомое смешанное произведение трёх векторов.
Например, смешанное произведение векторов a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9) равно 90.
Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком «плюс», если система a, b, c — правая, и со знаком «минус», если эта система левая.
Иногда вопрос задают так: «Чему равен объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c?». Как уже известно, равен он смешанному произведению векторов a, b и c. Если результат окажется со знаком «минус», то результат, конечно же, нужно взять по модулю.
Например, объём параллелепипеда, построенного на векторах a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9), равен 90 кубических единиц.
Объём пирамиды, построенной на векторах
Объём пирамиды, построенной на векторах a, b и c, равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.
Если известны координаты вершин A, B, C, D пирамиды, то последовательность действий для нахождения её объёма следующая:
- находим координаты векторов AB, AC и AD;
- находим 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD (результат вычислений берём со знаком «плюс»).
Например, даны вершины пирамиды ABCD:
- A(5, 0, 14);
- B(-7, 16, 9);
- C(14, -5, 17);
- D(15, 11, -2).
Находим координаты векторов AB, AC и AD:
- AB = (-7-5, 16-0, 9-14) = (-12, 16, -5);
- AC = (14-5, -5-0, 17-14) = (9, -5, 3);
- AD = (15-5, 11-0, -2-14) = (10, 11, -16).
Вычисляем 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD.
V = 1/6 · 1475 = 245,83 кубических единиц.
Источники:
- М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.
- В.Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах. В 3 томах. Том 1.
Дополнительно на Геноне: