(др.-греч. ξωμα — утверждение, положение) или постулат — утверждение, принимаемое без доказательства.
Впервые термин «аксиома» встречается у (384—322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времен Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий.
Аксиоматизация теории — явное указание конечного набора аксиом. Утверждения, вытекающие из аксиом, называются теоремами. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию.
- свойство системы аксиом данной аксиоматической теории, состоящее в том, что каждая аксиома является независимой, то есть не является логическим следствием из множества остальных аксиом этой теории. Система аксиом, обладающая этим свойством, называется независимой.
Независимость той или иной аксиомы данной аксиоматической теории означает, что эту аксиому можно без противоречия заменить её отрицанием. Иными словами, аксиома независима в том и только в том случае, если имеется интерпретация, при которой эта аксиома ложна, а все остальные аксиомы данной теории истинны. Построение такой интерпретации является классическим методом доказательства независимости.
В аксиомах никогда не включаются логические цепочки, доказательства и построения. аксиомы - чистое описание тех фактов, существование которых имеется основание считать эмпирически доказанными, для чего имеются описание опыта и методика проведения этого опыта, в котором это всегда подтверждается.
Поэтому в аксиомах (естественно, в их описаниях) никогда не фигурируют абстракции, не имеющие прямого соответствия с какими-то свойствами мира. Поэтому в аксиомы не включаются понятия, зависящие от условий - границ абстракций, созданных человеком, в отличие от строгих терминов (см. подробнее ниже). аксиомы не зависят от того, какими границами наделил абстракцию человек, но должны включать в себя область корректности их описаний. Так, законы Ньютона являются абстракциями, область корректного описания действительности которых - нерелятивистские скорости. Для каждый из значений взаимных скоростей существует возможность определить точность (погрешность) описания аксиомы.
Источники и дополнительная информация: