Как вычислить определённый интеграл?

Вычисление определенных интегралов. Расчет определенного интеграла путем вычисления первообразной.

Функции являются непрерывными. Но если функция f(x) сама является непрерывной, тогда эти функции являются дифференцируемыми, причем их производные равны f(x) и "– f(x)", соответственно.

Таким образом, с одной стороны, у всякой непрерывной функции имеется первообразная, и чтобы найти ее достаточно вычислить определенный интеграл от этой функции с переменным верхним пределом. А с другой стороны, чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно знать первообразную функцииб которую мы хотим проинтегрировать.

Т. (Формула Ньютона-Лейбница.) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], а H(x) -- какая-нибудь ее первообразная, тогда :

Поскольку , то F(x) – первообразная функции f, а поскольку две первообразные отличаются лишь на константу, то F(x) = H(x) + C,
и далее, поскольку , то С = – H(a).
Следовательно, F(b) = H(b) – H(a) .

Поскольку f является производной H, то формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в виде :

т.е. интеграл от производной равен разности значений функции в концах отрезка интегрирования.

Формулу Ньютона-Лейбница можно применять к кусочно непрерывным функциям, обладающим кусочной первообразной. Так можно сделать по той причине, что определенный интеграл обладает свойством аддитивности.

Остается лишь отметить, что :

Основное назначение формулы Ньютона-Лейбница – вычисление определенного интеграла через неопределенный. Т.е. чтобы вычислить определенный интеграл функции на отрезке [ a, b ], сначала вычисляют неопределенный интеграл, а затем берут какую-нибудь первообразную и подставляют в нее значения b и a.

Источник информации:

• symedu.spb.ru - Учебник по математике.

Дополнительная информация:

• genon.ru - Что такое определенный и неопределенный интегралы?