Признак делимости на 3 и на 9. Натуральное число делится без остатка на 3 (или на 9) в том и только в том случае, если на 3 (или на 9) делится сумма его цифр (при записи в десятичной системе счисления).
Примеры:
173 — сумма цифр 1+7+3 = 11 — число не делится ни на 9, ни на 3
591 — сумма цифр 5+9+1 = 15 — число делится на 3, но не делится на 9
873 — сумма цифр 8+7+3 = 18 — число делится на 3 и на 9
Рекурсивность. Для многозначных числел критерии делимости на 3 и на 9 можно применять рекурсивно.
Пример:
9 387 467 418 975 918 194 765 357 167
— сумма цифр 157 — сумма цифр 1+5+7 = 13 — число не делится ни на 9, ни на 3
Теорема об остатках при делении на 3 и на 9. Более общая теорема состоит в том, что остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления на 3 (или 9) его суммы цифр. В последнем примере остататок от деления на 3 приведенного многозначного числа равнен 1, потому что при делении 13 на 3 получается остаток 1. Остаток от деления на 9 равен 4 потому, что при делении 13 на 9 получается остаток 4.
Ссылки: