Как доказать теорему синусов?

Теорема синусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:

Для произвольного треугольника

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R

где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ — соответственно противолежащие им углы, а R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Видеоурок с доказательством теоремы синусов.

Доказательство теоремы синусов:

Достаточно доказать следующие положения:

a/sinα = 2R

Проведем диаметр BG для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол BCG прямой и угол при вершине G треугольника BCG равен либо α, если точки A и G лежат по одну сторону от прямой BC, либо π — α  в противном случае. Поскольку sin(π — α) = sinα, в обоих случаях a = 2Rsinα. Повторив тоже рассуждение для двух других сторон треугольника получаем:

a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R 

см. рис.

Источники информации:

• wikipedia.org — материал из Википедии;
• math.com.ua — доказательство теоремы.